復合梁正應力分布規律實驗

一、實驗目的
1. 用電測法測定疊梁，復合梁在彎曲受力狀態下，沿其橫截面高度的正應變（正應力）分布規律。
2. 推導疊梁，復合梁的正應力計算公式。
二、實驗儀器和設備
1. 純彎曲梁實驗裝置（純彎曲梁復合梁）。
2. 靜態數字電阻應變儀。
三、實驗原理及步驟
1. 實驗原理
復合梁的材料為鋁梁和鋼梁，上層是鋁梁，其彈性模量分別為E=70GN/m²和E=210GN/m²。復合梁上總過貼上了12各應變片，每個梁各6個。
1. 幾何、物理和靜力學關系
以材料尺寸相同的兩層矩形截面復合梁在純彎 曲情況下為計算模型，在其縱向對稱面內，承受彎矩 M的作用。上梁的彈性模量為E₁，橫截面面積為A₁，下梁的彈性模量為E₂，橫截面面積為A₂，且A₁=A₂，單梁的梁寬和梁高分別為b和h，在其縱向對稱面內，承受彎矩M的作用。兩種不同的材料由膠粘合制成。下面建立橫截面上的彎曲正應力公式，平面假設與單向假設均成立。
設中性層的曲率半徑為，并沿截面縱向對稱軸與中性軸分別建立坐標軸y與z，中性層離交界面的距離為e。
（1）變形幾何關系。根據平面假設可知，橫截面上y處的縱向正應變為:
                                                              （6-1）
（2）物理關系。依胡克定律，而由式（1）帶入，可以得出不同材料區的彎曲正應力分別為：
                            ，                     （6-2）
（3）靜力學平衡關系。根據受力分析，由靜力學平衡關系，考慮橫截面上內力的平衡，，可以得出：
                                           （6-3） 
由組成的內力系，在橫截面上形成一個內力偶矩M，即為橫截面上的彎矩M，即：
                                       （6-4）
2. 確定中性層位置
將式（2）代入式（3）中，得

令


則
                                                     （6-5）
則


并且，令

將和帶入式（5）得：
                                                        （6-6）
3. 推導彎曲正應力計算公式
將式（2）代入式（4），得：

令
，
其中、分別為截面、對中性軸的慣性矩。由于各梁曲率相同，經變化得：
                                                        （6-7）
再將式（7）代入式（2），得：
                   ，                   （6-8）
式中、分別為、對共同中性軸Z的慣性矩。
由單向應力狀態的虎克定律公式，可求出應力實驗值。應力實驗值與應力理論值進行比較，以驗證復合梁的正應力計算公式。
2. 實驗步驟
1. 首先確定單梁的物理參數，得到h=20mm，b=20mm，c=150mm。
2. 啟動實驗裝置，將各應變片分別接到各個AB通道之間，同時把公共補償片接到上，并且把C通道與短接片短接。
3. 進行實驗：
a.取初載荷0.5kN，每次逐級加1.0kN，直至4.5kN，總共分4次加載。
b.接完線路以及加初載荷之前都要重復置零。
c.每次加載完畢都要記錄下數據。
  
四、實驗數據
表6-1 Ⅰ梁應變數據表

表6-2 Ⅱ梁應變數據表
五、數據處理
1.  根據實驗數據計算各點的平均應變，求出各點的實驗應力值，并計算出各點的理論應力值；計算實驗應力值與理論應力值的相對誤差。
答：根據上面實驗數據，結合材料力學相關知識計算如下：
（1）由實驗數據可知，各應變片處的平均應變值為：
Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅰ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

Ⅱ梁上處的平均應變為：

（2）各應變片處的實驗應力值為：
Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅰ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

Ⅱ梁上處的應力值為：

（3）理論計算試件上個應變片處的理論應力值
加載的力的大小為F=1000N。復合梁的單梁截面厚度b=20mm，高度h=20mm，截面作用點到梁支點的距離為c=150mm。設n=E₂/E₁=210/70=3，中性軸位置的偏移量為：

因此，可得到復合梁Ⅰ和復合梁Ⅱ正應力計算公式分別為


其中

根據材料力學知識分析如下：
Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅰ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

Ⅱ梁上處計算應力值為：

（4）計算實驗應力值與理論應力值的相對誤差
Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅰ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

Ⅱ梁上處應力值的相對誤差為：

2.  上述的各點應力的實驗值與應力的理論值，將兩者進行比較。可以得出：實驗值與理論值的結果十分接近，說明復合梁的正應力計算公式成立。
六、實驗結果
根據前面計算可以看出，實驗計算的結果和理論計算的結果基本吻合。現列表如下：
表6-2 結果對比表

 

從表中可以看出，理論計算和實驗結果基本吻合，相對誤差不大。實驗從某種方面上證實了理論知識。數據可用。
七、思考題
1． 復合梁中性層為何偏移？
答：因為兩種材料的抗彎能力以及抗拉能力不同，導致在同等應力條件下，兩個截面對稱位置發生的應變不同。抗彎能力以及抗拉能力強的材料發生的變形小于另一種材料，因此中性層就向下偏移了。
2.  如何理解復合梁實驗中出現兩個中性層？
復合梁雖然中間是由物理或化學方法進行了連接，但是其實際上不是一個材料性質連續的整體。因此在兩種材料的交界面上會產生應力的突變，在整個復合梁的橫截面上，應力不是連續的，因此可能出現兩個中性層。